Question

关于二次函数图象的解题技巧

Answer 1

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函数图像信息题，是高考重点考点之一。怎样才能迅速、准确解答二次函数的信息题？

相关定理：
1. 定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,IaI越小开口就越大）

2.方程的根与函数的零点关系
函数Y=f(x)的零点 函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标 方程f(x)＝0实数根

一、根据二次函数完整的图像信息，寻找错误项
例1、二次函数 的图象如图1所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．

分析：二次函数 的图像上可以直接获得的信息是：
1、a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;
2、c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：
交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。
3、b2－4ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数；
抛物线与x轴有两个交点 b2－4ac＞0；
抛物线与x轴有一个交点 b2－4ac=0，
抛物线与x轴没有交点 b2－4ac＜0，
根据上面的知识，
抛物线的开口向上，所以，a＞0，因此，B选项是正确的；
抛物线与y轴交点的位置在原点以上，所以，c＞o，因此，C选项是正确的；
抛物线与x轴有两个交点，所以， b2－4ac＞0，因此，A选项是正确的；
解：选D。

二、根据二次函数完整的图像信息，寻找正确项
例2、(如图2所示为二次函数 的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3
③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。
正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上)
分析：
从图像上我们获得如下的信息：
抛物线的开口向上，所以，a＞0；
抛物线与y轴交点的位置在原点以下，所以，c＜0；
抛物线与x轴有两个交点，并且横坐标分别是-1，3，
信息加工：
因为，a＞0 ，c＜0，所以，ac＜0，所以，①是正确的
因为，抛物线与x轴有两个交点，并且横坐标分别是-1，3，
所以，方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3
所以，②是正确的；
因为，抛物线与x轴有两个交点，并且横坐标分别是-1，3，
所以，抛物线的对称轴是：直线x= =1，
由于抛物线开口向上，所以，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，即当x＞1时，y随x的增大而增大，所以④是正确的，
根据图像，知道，当-1＜x＜3时，y＜0，
因为x=1，在上述的范围内，所以，当x=1时，其对应的函数值是小于0的，
而当x=1时 ，y=a+b+c，
所以，a+b+c＜0，因此，③是错误的。
解：正确的是①②④.

三、根据二次函数完整的图像信息，确定待定字母的值
例3、已知：如图3所示，二次函数 的图像为下列图像之一，则 的值为
A.－1 B ． 1 C. －3 D. －4
分析：
要想完成问题的解答，需要从三个角度去分析：
一个是对称轴的角度；二是图像是否经过原点的角度；三是图像是否经过已知点。
从第一个图像上我们获得的信息是：
抛物线的对称轴是y轴，即x=0，同时，图像经过点A（2，0），抛物线的开口向上，
所以，a＞0 ，b=0，4a+4=0，所以，a=-1，矛盾，所以，不可能是第一个图像；
从第二个图像上我们获得的信息是：
抛物线的对称轴是y轴，即x=0，同时，图像经过点A（2，0），抛物线的开口向下，
所以，a＜0 ，b=0，4a+4=0，所以，a=-1，所以，可能是第二个图像；此时，a=-1；
从第三个图像上我们获得的信息是：
抛物线的图像经过点A（-1，0），抛物线的开口向下，
所以，a＜0 ，a-b+ +b=0，解得，a=0或a=-1，所以，可能是第三个图像，
此时，a=-1；
从第四个图像上我们获得的信息是：
抛物线的图像经过点A（-3，0），O(0,0),抛物线的开口向上，
所以，a＞0 ，9a-3b+ +b=0， +b=0,解得，a=0或a=-3，矛盾，所以，不可能是第四个图像；
综上所述，a的值可能是-1.
解：选A。

四、根据二次函数部分的图像信息，求代数式的值
例4、如图4所示，抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 （3，0），则 的值为 ：
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
分析：
由抛物线 的对称轴是直线x=1，
所以，- =1，
由抛物线 经过点 （3，0），
设抛物线 与x轴的另一个交点的坐标是（m，0），
所以， =1，
解得：m=-1，即另一交点的坐标是（-1，0），
而当x=-1时，y=a-b+c，
所以，a-b+c=0.
解：选A。

五、根据二次函数部分的图像信息，求范围
例5、已知函数 的部分图象如图5所示,则c=______,当x______时,y随x的增大而减小.
分析：
由图像知：抛物线 的对称轴是直线x=1，
由抛物线 经过点（5，0），
所以，-25+10+c=0，解得，c=15，
因为，抛物线的开口向下，
所以，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
而 对称轴的右侧，用不等式表示就是x＞1，
所以，正确的答案是：c =15, 当x＞1时,y随x的增大而减小.
六、只含一个字母的两个组合函数在同一坐标系中的大致图像甄别
例6、如图6所示，在同一直角坐标系中，函数 和 （ 是常数，且 ）的图象可能是（ ）
分析：解答此类问题时常常遵循如下原则：
同一字母在不同解析式中的意义必须相同，有几个字母就验证几个。
（A）中看抛物线，得：-m＜0，即m＞0，看一次函数，得：m＜0，二者矛盾，
故（A）不正确；
（B）中看抛物线，得：-m＞0，即m＜0，看一次函数，得：m＜0，意义相同，
故（B）可能正确；
（C）中看抛物线，得：-m＞0，即m＜0，看一次函数，得：m＞0，意义不相同，
故（C）不可能；
（D）中看抛物线，得：-m＞0，即m＜0，并且抛物线的顶点在x轴上，
所以， =0，即m=- ，
所以，抛物线变为：y= +2x+2，一次函数变为：y= - x- ，
由 +2x+2= - x- ，整理得： +3x+5=0，
因为，△= -4ac=9-20＜0，因此，两个函数的图像不可能有交点，故（D）不可能；
解：选B.
点评：
当两个图像都有可能性时，再进行甄别的标准就是看两函数的图像是否真的有交点，不要被图像的虚假信息所迷惑。这一点很重要。

七、两个字母或两个字母以上的两个组合函数在同一坐标系中的大致图像甄别
例7、如图7所示，函数 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
分析：
同一字母在不同解析式中的意义必须相同，有几个字母就验证几个。
（A）中看抛物线，得：a＞0，看一次函数，得：a＜0，二者矛盾，
故（A）不正确；
（B）中看抛物线，得：a＞0，b＜0，看一次函数，得：a＞0，b＞0，b的符号不相同，
故（B）不正确；
（C）中看抛物线，得：a＞0，b＜0，看一次函数，得：a＞0，b＜0，意义不相同，
故（C）可能；
（D）中看抛物线，得：a＜0，b＞0，看一次函数，得：a＞0，b＜0，b的符号不相同，
故（D）可能；
解：选C.

综上，解答二次函数可以通过数形结合的方法加以解答，碰到具体问题可以根据题目具体解题，但是用图像来解答显得更为方便简洁。