Question

数学高中函数题坐等高手啊

如图 我已经画出gnx 图像 是连续山峰 总长为2 一个周期为2^(2-n) fx 也是T=4的连续山峰 接下去怎么处理啊求详解啊 小弟明天要高考了帮帮我啊

Answer 1

解析：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)

又满足f(2+x)=f(2-x)，∴f(x)关于直线x=2对称

∵函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期

∴T=2|0-2|=4

∴f(x)是以4为最小正周期的周期函数

∵x∈[0,2]时，f(x)=x，∴x∈[-2,0]时，f(x)=-x；

x∈[2,4]时，f(x)=4-x；x∈[4,6]时，f(x)=x-4

 

g(x)=2x,(x∈[0,1])；

g(x)=4-2x,(x∈(1,2])；

∴g(x)∈[0,2]

令g1(x)=g(x)，gn(x)=g(n-1)(g(x))  n∈N*

即g1(x)=g(x)，g2(x)=g1(g(x))，g3(x)=g2(g(x))，…，gn(x)=g(n-1)(g(x))

 

如图所示，蓝色图形为f(x)，红色图形为gn(x)

∵f(x)∈[0,2]

∴gn(f(x))图形如红色曲线

gn(f(x))周期为4的周期函数

∵gn(f(x))=x/2014

当x=4028时，函数y=x/2014=2

可见当x>4028时，函数gn(f(x))与y=x/2014就下存在交点了

4028/4=1007

即在区间[0,4028]上gn(f(x))有1007个周期，在一个周期内有二个交点

∴1007个周期内共有2014个交点，即方程解的个数为2014个

追问

答案是 2014 . 2 n次方啊

Answer 2

作为一个填空题，不必按大题的思路去解：
由最后的提示，不难想到结果应该是关于n的一个通项，

何不令n=1、2 找出通项即可。

追问

只能这么不完全归纳法了

追答

做选择 填空就得用最少的时间解题，有捷径就要走。

Answer 3

哈哈 如果当年我上学的时候应该是可以解出来的 但是我不做数学题已经5年了

Answer 4

问老师去吧。太麻烦了。