Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= mx（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= mx（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= mx（x＞0）和y=- mx（x＜0）于点M、N．（1）求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．(4)当a=3，求证三角形PMB相似三角形PNA

Answer 1

（1）将B（2,1）代入y=m/x得m=2。即双曲线的解析式为y=2/x。
设直线l的解析式为y=kx+b。将A（1,0）B（2,1）代入得k=1，b=-1.∴y=x-1。
综上所述，m的值为2，直线l的解析式为y=x-1。
（2）当P在直线y=2上时，P点坐标为（3,2）。当y=2时，x1=2/y=1，x2=-2/y=-1，∴M点坐标为（1,2），N点坐标为（-1,2）。根据两点之间距离公式得|PB|=根号2，|PA|=2根号2。又有|PM|=2，|PN|=4。∵PB/PA=PM/PN=1/2，∠MPB=∠NPA，∴△PMB∽△PNA。
（3）①当P点在双曲线之上时，P在MN之外。由于△AMN与△AMP共高，有|MN|=4|MP|，设M点坐标为(a,2/a)，有|MN|=2a,∴|MP|=2a/4=a/2。∴P点坐标为（3a/2,2/a）。由题意得P点坐标为（p，p-1），∴2/a=3a/2-1，解得a1=（1+根号13）/3，a2=（1-根号13）/3（由p＞1，舍去）。∴P点坐标为（（1+根号13）/2,(1-根号13)/2）。
②当P点在双曲线之下时，P在MN之内。同①得|MN|=4|MP|，且M点坐标为(a,2/a)，∴N点坐标为（-a,2/a）。有|MN|=2a,所以|MP|=1/4|MN|=2a/4=a/2。有P点坐标为（a/2,2/a），∴2/a=a/2-1。解得a1=1+根号5，a2=1-根号5（由p＞1，舍去）。
∴P点坐标为(（1+根号5）/2，（1-根号5）/2)
综上所述，P点坐标为（（1+根号13）/2,(1-根号13)/2）或(（1+根号5）/2，（1-根号5）/2)
（4）这个“a”到底是什么东西