Question

在数列{an}中,a1=1/3,且(a1+a2+a3+…+an)/n=(2n-1)an，(n∈N*)

(1)写出此数列的前5项 (2)归纳猜想{an}的通项公式，并加以证明

Answer 1

(a1+a2+a3+…+an)/n=(2n-1)an，则sn=n(2n-1)an,或an=sn/[n(2n-1]
又s2=a1+a2=2*3*a2=1/3+a2
5a2=1/3
=>a2=1/15
同理得：
a3=1/35
a4=1/63
a5=1/1023
而
a1=1/3=1/(4-1)=1/（2^2-1）
a2=1/15=1/(16-1)=1/(2^4-1)
a3=1/35=1/(36-1)=1/(2^6-1)
a4=1/63=1/(64-1)=1/(2^8-1)
a5=1/1023=1/(1024-1)=1/(2^10-1)
猜想 an=1/(2^2n-1)=1/(4^n-1)
数学归纳法：
（1）n=1时,an=1/3=a1命题成立。
（2）假设n=k时,命题成立。即a(k)=1/（4^k-1)
当n=k+1时,
a(k+1)
=s(k+1)/[(2k+1)(k+1)]
=[sk+a(k+1)]/[(2k+1)(k+1)]
=[a(k)(2k-1)k+a(k+1)/[(2k+1)(k+1)]
不好打，麻烦你化一下！