Question

在平面直角坐标系x0y中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆c上，求圆c的标准方程

Answer 1

曲线y=x² -6x+1与y轴的交点: D(0, 1)
y = x² -6x+1 = 0, x = 3±2√2, 与x轴的交点: A(3-2√2, 0), B(3+2√2, 0)
曲线y=x² -6x+1为抛物线,对称轴为x = 3
显然圆心C在对称轴上,设C(3, b)
CA = CD = r
CA² = CD²
(3 - 3 + 2√2)² + (b - 0)² = (3- 0)² + (b - 1)²
8 + b² = 9 + b² - 2b + 1
b = 1
C(3, 1)
C, D的纵坐标相同,距离为横坐标之差, r = 3-0 = 3
故圆C的标准方程为： (x - 3)² + (y - 1)² = 9

Answer 2

曲线y=x² -6x+1与y轴的交点: D(0, 1)
y = x² -6x+1 = 0, x = 3±2√2, 与x轴的交点: A(3-2√2, 0), B(3+2√2, 0)
曲线y=x² -6x+1为抛物线，对称轴为x = 3
显然圆心C在对称轴上，设C(3, b)
CA = CD = r
CA² = CD²
(3 - 3 + 2√2)² + (b - 0)² = (3- 0)² + (b - 1)²
8 + b² = 9 + b² - 2b + 1
b = 1
C(3, 1)
C, D的纵坐标相同，距离为横坐标之差, r = 3-0 = 3
圆C的方程: (x - 3)² + (y - 1)² = 9

Answer 3

1、曲线y=x^2-6x+1是一条开口向上的抛物线，与坐标轴有3个交点。
其中，与x轴有2个交点：A(3-2√2,0)、B(3+2√2,0)，与y轴有1个交点：D(0,1)。
计算过程如下：
y=0时
x^2-6x+1=0
(x-3)^2=9-1
x-3=±2√2
x=(3±2√2)
x=0时
y=1
2、∵A、B关于x=3对称
而圆C过A、B两点
∴C必然在AB的垂直平分线(x=3)上
因此，设C(3,c)
3、设圆C的标准方程为：(x-3)^2+(y-c)^2=r^2
把A、D的坐标代入圆C的方程，即可求出c和r^2。
(3-2√2-3)^2+(0-c)^2=r^2
8+c^2=r^2.............(1)
(0-3)^2+(1-c)^2=r^2
9+1-2c+c^2=r^2
10-2c+c^2=r^2....(2)
(1)-(2)：-2+2c=0
c=1
代入(1)：8+1=r^2
r^2=9
4、圆C的标准方程：(x-3)^2+(y-1)^2=9