Question

已知f(x,y,z)=(x-y)五次方+(y-z)五次方+(z-x)五次方

求证：f为五次齐式；
f为轮换式；
f为交代式；
分解因式f。

Answer 1

半夜三点看到这个问题。。。
求证齐次：由（X-Y）二次方 为齐次式可以想象到。。最简单的 办法是把括号打开，当然不一定完， 利用二项式定理就能说明。
求证轮换：即证f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=.....=f(z,y,x)共六个式子相等，即X,Y,Z任意交换顺序过后仍然相等，就是F满足轮换对称性，即为轮换式。
交代式。。。没接触过这个概念。。。

因式分解有很多办法了。我提供一种最常见的办法并且给出过程
换元：令X-Y=S Y-Z=T 则 Z-X=-S-T S^3是电脑上表示S的三次方
带入可得：F=S^5+T^5-(S+T)^5 按二项式定理展开
F=-5ST(S^3+2TS^2+2ST^2+T^3)=-5ST(S+T)（S^2+ST+T^2）
然后把S 和T换回来。。。并且打开括号，我就不打字了。太多，反正最后是几个质因式之积得结果就说明因式分解成功！！