Question

高二数学导数解答题（第二三问过程尽量详细。。这里我学得不太好，思路最好清晰些） 不胜感激

已知函数f(x)=alnx+x²（a为实常数）
（1）若a=-2，求证：函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；
（2）当a≥-2时，求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1、f(x)=-2lnx+x^2
f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x
当x>1时，f'(x)>0，所以函数在x>1时是增函数；
2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x，定义域x>0
所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上，a+1<=x^2+a<=e^2+a
（1）a>-1时，增，f(1)=1最小
（2）a<-e^2时，减，f(e)=a+e^2最小
（3）-1<=a<=e^2，先增后减，所以要比较f(1)=1与f(e)=a+e^2的大小关系。显然，f(1)最小。
3、就是alnx+x^2<=ax+2x,即：a(x-lnx)>=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值，只要a大于等于最大值，就会恒成立。
令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)
则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2
判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负
h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。（因为x+2/x>=2根号2，而lnx<=1)
所以h(x)单增，最小值为h(1)=0
所以g'(x)>0，g(x)单增，最大值为：g(e
所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。
如果算错数了，你自己改一下，方法没问题。