Question

条件极值问题：设a1,…an为n个正数，证明不等式：

Answer 1

考虑n元函数f(x1,x2,..,xn)=x1^a1+x2^a2+...+xn^an在约束条件x1+x2+...+xn=a(a>0,ai>0,xi>0,i从1到n)下的最大值.然后置a1=a2=...=an=a=1,可得x1*x2*...*xn<=(1/n)^n,于该式中置yi=(xi)/(x1+x2+...+xn)(i从1到n),化简即得.

Answer 2

用归纳法证明或者琴生不等式：上凸函数f(x），x1,x2,...xn是函数f(x）在区间（a,b）内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x）为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即（x1+x2+...+xn)/n≥（x1*x2*...*xn)^(1/n)

追问

没用到极值啊

追答

介个介个~查不到也不会