Question

已知函数f(x)=x+1/x+alnx,a∈R.若对任意的x∈[1,e]，都有2/e≤f（x）≤2e恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(2)当a>=0时，在x€(1,e)上f'(x)<0恒成立x∈[1,e]
∴f(1)≥2/e
f(e)≤2e
∴1+1+0≥2/e
e+1/e+a≤2e
∴0<=a≤e-1/e
当a<0时，在(0，(-a-√(a^2+4))/2)上减，在(～，正无尽)上增，又因为(-a-√(a^2+4))/2<1则f'x在(1，e)上大于0，同理，在得a<=0时成立，则实数a的取值范围a≤e-1/e

Answer 2

f'(x)=1-1/x^2+a/x
=(x^2+ax-1)/x^2
Δ=a^2+4恒>0，且二次函数x^2+ax-1开口向上
∴f'(x)恒>0
∴f(x)在x>0恒单调增
x∈[1,e]
∴f(1)≥2/e
f(e)≤2e
∴1+1+0≥2/e
e+1/e+a≤2e
∴a≤e-1/e
实数a的取值范围a≤e-1/e

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祝学习进步！

追问

不是应该当△0吗

追答

啊，抱歉，我错了，我再改改

追问

没关系 加油！！

追答

f'(x)=1-1/x^2+a/x
=(x^2+ax-1)/x^2
Δ=a^2+4恒>0，
令f'(x)>=0
x=(-a+√(a^2+4))/2
应该分别讨论[1,e]在哪部分区域，但是太麻烦了，感觉应该有简单做法