Question

请高中数学高手详细解答第（2）问，万分感谢！！！

22题：在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0,1/2)， 直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k2．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；

（2）对(1)中的抛物线C,若直线L: y=x+m(m>0)与其交于M,N两点,存在M,N两点关于直线Y= -X+b 对称，求b的取值范围？

Answer 1

（1）由题意可得y=kx+1/2，设A（ x1,y1),B(x2,y2),
|AF|=√（x1-0)^2+(y1-1/2)^2=|x1|√(1+k^2) (由y1=k*x1 +1/2)
|BF|=√x2-0)^2+(y2-1/2)^2=|x2|√(1+k^2)
∴|AF|•|BF|=|x1|√(1+k^2) *|x2|√(1+k^2)=|x1x2|*(1+k^2)=1+k^2
∴|x1x2|=1
假设存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线，设它的方程为y=ax^2，
联立y=kx+1/2，y=ax^2消去y得2ax^2 — 2kx — 1=0
∴x1+x2=k/a ，x1*x2=-1/2a

∴-1/2a=1或-1/2a=-1
∴a=1/2或a=-1/2
∴ 抛物线C的方程为y=1/2*x^2或y=-1/2*x^2

(2)分两种情况讨论：
（i）若抛物线C的方程为y=1/2*x^2，
∵直线L: y=x+m与直线Y= -X+b 垂直
∴要使直线L: y=x+m(m>0)与抛物线交点M,N关于直线Y= -X+b 对称，
只需M,N两点的中点在直线Y= -X+b 上。（解决本题的关键所在）

联立y=1/2*x^2，y=x+m消去y得x^2 — 2x — 2m=0
∴x1+x2=2，（x1+x2）/2=1，代入y=x+m得(y1+y2)/2=1+m
再将点（1，1+m）代入Y= -X+b 得m=b-2>0，∴b>2

(ii)若抛物线C的方程为y=-1/2*x^2，
∵直线L: y=x+m与直线Y= -X+b 垂直
∴要使直线L: y=x+m(m>0)与抛物线交点M,N关于直线Y= -X+b 对称，
只需M,N两点的中点在直线Y= -X+b 上。

联立y=-1/2*x^2，y=x+m消去y得x^2 +2x + 2m=0
∴x1+x2=-2，（x1+x2）/2=-1，代入y=x+m得(y1+y2)/2=m-1
再将点（1，m-1）代入Y= -X+b 得m=b>0，∴b>0

综上可知b>0

采纳啊 ，亲！