Question

曲面积分问题，急

这个问题，请不用高斯来解答。

Answer 1

用向量点积法也挺容易的：
∫∫Σ (y² - z) dydz、Σ：z = √(x² + y²)、0 ≤ z ≤ h
= - ∫∫D [ - (y² - z) * x/√(x² + y²) - 0 + 0] dxdy
= ∫∫D [y² - √(x² + y²)] * x/√(x² + y²) dxdy
已经注意到上面的x致使被积函数为奇函数，而且积分域D：0 ≤ x² + y² ≤ h²关于x和y轴都对称
所以积分式结果 = 0

若用最基本的方法，也是最麻烦的。需要分前后侧。
前侧取( + )：x ≥ 0、x = √(z² - y²)、设为Σ(+)
∫∫Σ(+) (y² - z) dydz
= ∫∫D (y² - z) dydz
后侧取( - )：x ≤ 0、x = - √(z² - y²)、设为Σ(-)
∫∫Σ(-) (y² - z) dydz
= - ∫∫D (y² - z) dydz
所以总结果∫∫Σ (y² - z) dydz = ∫∫Σ(+) (y² - z) dydz + ∫∫Σ(-) (y² - z) dydz
= ∫∫D (y² - z) dydz - ∫∫D (y² - z) dydz = 0

追问

由此理解，只要表达式中没有相对应的那个变量(x)，正如此式特例，则结果都为0。你觉得这样理解对吗，如果不对，给解释

追答

部分正确吧。
不正确的是用曲面积分的方法去做，积分是否等于0与有没x是没关系的。
对于yoz面来说，需要将x = x(y，z)代入被积函数里面
当将曲面积分化为二重积分后，就要按照奇偶性质去做。
还要注意从第二类曲面积分的式子上是看不到奇偶性的，它们都具有方向
所以应化为二重/三重积分后才考虑奇偶性

正确的是对于高斯公式来说，本来是一个对x求偏导的式子，竟然没有x，结果当然是0啦
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dxdydz
既然只有∫∫Σ Pdydz而P中却没有x，于是∫∫∫Ω ∂P/∂x dxdydz = 0

分辨这两种积分：曲面积分下面那个是Σ，二重积分是D

Answer 2

高斯定理是最容易的。因为被积函数与x无关。
当然也可以转化为二重积分做。
原式=∫∫（y^2-(x^2+y^2)^(0.5))*(x/sqrt.(x^2+y^2))dxdy,区域是xoy平面内的圆域。记x^2+y^2=r^2
=∫∫(xy^2/r)dxdy ，
用极坐标变换积出为0。还不懂的话可以追问