Question

已知a1=1,且a(n+1)=(1+1/(n^2+n))an+1/2^n,证明an<e^2?

需要详解，谢谢

Answer 1

由于a(n+1)=(1+1/(n^2+n))an+1/*2^n<=(1+1/(n^2+n)+1/2^n)an(标注由于an>=2)

故两边取1n则1n(a(n+1))=1n(1+1/(n^2+n)+1/2^n)+1n(an)由于1n(x+1)<x故

1n(a(n+1))-1n(an)=1n(1+1/(n^2+n)+1/2^n)<1/(n^2+n)+1/2^n

接下来累加相减这个懂吧故

1n(a(n+1))-1n(a1)<1/((n+1)*n)+1/((n*(n-1))+……+1/2*1+1/2^n+1/2^(n-1)+……+1/2

一个裂项相消另一个等比数列求和又a1=1so

1n(a(n+1))<1-1/(n+1)+1-1/2^n<2

所以a(n+1)<e^2

又a(n+1)>an这个很明显

所以an<a(n+1)<e^2证毕

Answer 2

是数列不？

追问

对，电脑不好打的