Question

如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2√3,AB=4,且E,F分别是AB,A1B1中点。 （1）求证C1F//平面D1EC；

（2）求二面角D1-EC-D的大小

Answer 1

（1）连EF，由四边形EFC1C是矩形，

∴C1F∥平面D1EC（平面外一条直线如果和平面内一条直线平行，

那么这条直线就和这平面平行）

（2）过D1作D1H⊥EC于H，连DH。

D1E=D1C=√（16+12）=2√7，∴H是CE中点。

由BE=2，BC=2√3，∴CE=√（4+12）=4，

ED=√（4+12）=4，CD=4

∴△CDE是等边三角形，

DH=D1D=2√3，

二面角D1-EC-D=∠D1HD，

tan∠D1GD=D1D/DH=1

∴∠D1HD=π/4.

Answer 2

（1）由E、F分别为AB、A1B1的中点，可得EF∥BB1，且EF=BB1
BB1∥CC1，且BB1=CC1，故EF∥CC1，且EF=CC1
∴四边形EFCC1是平行四边形，∴EC∥C1F
D1为平面EFCC1外一点，∴C1F∥平面D1EC
（2）过点D做DO⊥EC于点O，
DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥EC，DD1⊥DO
∴EC⊥平面DD1O
∴EC⊥OD1
∴∠DOD1即为D1-EC-D的二面角。

EB=1/2AB=2,BC=AD=2√3,由勾股定理得EC=4
∠OCD+∠ECB=90º，∠CEB+∠ECB=90º，CD=AB=4，∴△DCO≌△CEA
∴DO=BC=2√3
DD1=AA1=2√3，∴△DD1O为等腰直角三角形，
∴∠DOD1=45º
即二面角D1-EC-D等于45º