Question

已知a,b,c是△ABC的∠A,∠B，∠C的对边,a>b,关于x的方程x的平方-2(a+b)x+2ab+c的平方=0有两相等的实数根

已知a,b,c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边,a>b,关于x的方程x的平方-2(a+b)x+2ab+c的平方=0有两相等的实数根，且∠A，∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x的平方-（2m-5）x+m-8=0的两根，若△ABC外接圆的面积为25π，求△ABC的周长。

Answer 1

解：根据‘关于x的方程x²-2(a+b)x+2ab+c²=0有两相等实根’可以得到4(a+b)2=4(2ab+c2)；
经化简，a2+b2=c2，因此得到三角形ABC为直角三角形，且角C=90度，又根据三角形ABC 的外接圆中，AB为直径，因为面积为25π，所以AB边长为10’可以得到边c=10;
再根据∠A，∠B的正弦是关于x的方程（m+5）x²-(2m-5)x+m-8=0的两根，根据二次方程根和 系数的关系得到:
x1+x2=(2m-5)/(m+5)， (1)
x1x2=(m-8)/(m+5)， (2)
在这里，x1=sinA=a/10,x2=sinB=b/10,同时a和b满足a2+b2=c2=100，代入x1，x2到（1）和（2） 中，得到:
a/10+b/10=(2m-5)/(m+5)，(3)
a/10*b/10=(m-8)/(m+5)， (4)
将（3）两边平方得到，（a+b）2=100(2m-5)2/(m+5)2,即100+2ab=100(2m-5)2/(m+5)2根据 式（4），ab=100(m-8)/(m+5)，故：
100+100(m-8)/(m+5)= 100(2m-5)2/(m+5)2
求解该方程，得到m1=20，m2=4，对于m2=4应舍去，应为要保证（2）式为正，所以m=20， 进而得到a+b=14，进而三角形周长为a+b+c=24.

Answer 2

楼下的那位回答的好详细呀