Question

求函数值域y=√x+√1-x

Answer 1

定义域：x≧0且1-x≧0，故定义域为0≦x≦1.

令y'=1/(2√x)-1/[2√(1-x)]=[√(1-x)-√x]/[2√x(1-x)]=0

得√(1-x)-√x=0，即1-x=x，2x=1；x=1/2.

即当x=1/2时y获得最大值ymax=√(1/2)+√(1-1/2)=√2.

x=0时y=1；x=1时y=1.

故其值域为1≦y≦√2

也可用图求得：

Answer 2

y=√x＋√(1-x) (1)
定义域为:0≤x≤1
(1)式的等号两边同时平方 得：
y^2=x+2√(1-x)x+1-x
=2√(-x^2+x)+1
对于 -x^2+x,其图像是个开口朝下的抛物线,当x=1/2时,有最大值为1/4,
此时,y^2有最大值为2 y的最大值为√2
当x=0时有最小值,y^2=1 y的最小时也为1
因此,对于y=√x＋√1-x,其值域为：
1≤y≤√2

Answer 3

解：
算术平方根有意义，x≥0，1-x≥0
解得0≤x≤1，函数定义域为[0，1]
由函数定义域，令x=sin²α，(α∈[0，π/2])
则cosα≥0
y=√x+√(1-x)
=√sin²α+√(1-sin²α)
=√sin²α+√cos²α
=sinα+cosα
=√2sin(α+π/4)
α∈[0，π/2]，则π/4≤α+π/4≤3π/4
√2/2≤sin(α+π/4)≤1
1≤√2sin(α+π/4)≤√2
1≤y≤√2
函数的值域为[1，√2]

Answer 4

定义域0≤x≤1
y'=1/2√x-1/2√(1-x)
驻点x=½,左+右-，为极大值点
∴最大值=y(½)=√2
最小值=y(0)=y(1)=1
∴y∈[1,√2]

Answer 5

函数定义域为：0≤x ≤1

当x=0或x=1时，y=1
当√x= √(1-x)时，y有最大值
此时x=1/2，y= √2
所以函数y=√x+√1-x的值域为：[1，√2]