Question

已知向量a=(cos3x,sin3x),b=(cosx,-sinx),x∈【0,π/4】,求fx=λ

已知向量a=(cos3x,sin3x),b=(cosx,-sinx),x∈【0,π/4】,求fx=λa·b-λ|a·b|sin2x (λ≠0)的单调区间 过程 谢谢！

Answer 1

如果a·b=|a·b|，
f(x)=λ|a·b|(1-sin2x) (λ≠0)

但如果a·b=-|a·b|，
f(x)=λ|a·b|(-1-sin2x) (λ≠0)

实际上a·b=（cos3x+sin3x)(cosx-sinx)
分别考虑m(x)=cos3x+sin3x和n(x)=cosx-sinx， 求导有3(cos3x-sin3x)和-(sinx+cosx)
当x∈【0,π/4】时，

x∈【0,π/12】， 3(cos3x-sin3x)不小于0，既有m(x)在这一段递增，顺便得到m(0)=3, m(π/12)=3*2^(1/2)；
x∈【π/12,π/4】，3(cos3x-sin3x)不大于0， 既有m(x)在这一段递减，m(π/4)=0；

当x∈【0,π/4】时，
-(sinx+cosx)总小于0，既有n(x)在这一段递减，同样顺便得到n(0)=3，n(π/4)=0；

到这里我们已经把原来的x区间分成了【0,π/12】和【π/12,π/4】，考虑两个非负值函数的相乘，应该可以确定|a·b|=a·b在作为x的函数时在指定区间上的单调性；

这一部分不是简单的同增异减，因为是积函数，结论好像比较麻烦，我不记得了。

回到最开始说的，f(x)=λ|a·b|(1-sin2x) (λ≠0）而不会有另一种情况。

那么f(x)里还剩个啥，λ（1-sin2x)，自己判断下单调性再复合吧，我就不说太细了，要是错了你也少走弯路~别忘了分一下λ>0和<0的情况。

好运