Question

设x1=根号6.xn=根号(6+xn-1).证明lim xn存在，并求其值

Answer 1

先证有界性

设xn<=3xn+1=√6+Xn<=√6+3=3

即

xn+1-xn=√6+Xn-√6+Xn-1=(xn-xn-1)/

所以

xn+1-xn和xn-xn-1符号相同

而x2=√6+X1=4x2-x1<0

所以xn+1-xn<0，xn+1<xn

即：｛xn}是减函数，所以单调有界数列必有极限。

设极限＝a

则

limXn+1=lim√6+Xn

a=√6+a

a²=6+a

a²-a-6=0

(a+2)(a-3)=0

a=3

即：极限＝3。

极限

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

Answer 2

1. 先证有界性
设 xn<=3
xn+1=√6+Xn<=√6+3=3
即
xn+1-xn=√6+Xn-√6+Xn-1
=(xn-xn-1)/[√6+Xn+√6+Xn-1]
所以
xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同
而
x2=√6+X1=4
x2-x1<0
所以
xn+1-xn<0
xn+1<xn
即
{xn}是减函数，
所以单调有界数列必有极限；
设极限=a
则
limXn+1=lim√6+Xn
a=√6+a
a²=6+a
a²-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
即
极限=3