Question

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),(a-b)的模=2√5/5

1.求cos（α-β）的值？
2.若0＜α＜π/2，-π＜β＜0，sinβ=-5/13，求sinα的值

Answer 1

（1）a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
|a|=1，|b|=1
|a-b|=√(a-b)²=√(a²+b²-2ab)=√(2-2cos(α-β)=2√5/5
所以cos(α-β)=3/5
（2）因为-π＜β＜0，0＜α＜π/2，所以0<α-β＜3π/2

又cos(α-β)>0，所以0<α-β<π/2
因为cos(α-β)=3/5，所以sin(α-β)=4/5
因为sinβ=-5/13，所以-π/2＜β＜0，cosβ=12/13
所以sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
代入即可.

Answer 2

解：(1)∵|a-b|=2√5/5
∴(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²=4/5
∴2-2cos(α-β)=4/5
∴cos(α-β)=3/5
(2)∵-π＜β＜0
0＜α＜π/2
∴0<α-β<3π/2
∴sin(α-β)=4/5 0<α-β<π/2
∴-π/2<β<0, cosβ=12/13
∴sinα=sin(α-β+β)=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=4/5*12/13+3/5*(-5/13)=33/65