Question

求csc的不定积分

RT 要有过程，不要说查积分表之类的话 谢谢

Answer 1

解:∫cscxdx=∫dx/sinx=∫sinxdx/(sinx)^2(分子分母同时乘以sinx)=∫d(cosx)/[1-(cosx)^2](凑微分)=0.5ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C(利用积分公式∫dx/(1-x^2)=0.5ln|(1-x)/(1+x)|+C)=ln|(sin0.5x)/(cos0.5x)|+C(二倍角余弦公式)=ln|tan0.5x|+C=ln|(1-cosx)/sinx|+C(半角正切公式)=ln|cscx-cotx|+C(C为常数)

Answer 2

这个才是正解。
∫cscxdx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/ [cos^2(x/2) * tan(x/2) ]d(x/2)
=∫sec^2(x/2)/tan(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d(tan(x/2))
=ln|tan(x/2)|+C
又 tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2sin^2(x/2)/sinx=[1-(1-2sin^2(x/2))]/sinx=(1-cosx)/sinx=cscx-cotx
所以 ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C