Question

△ABC中,A,B,C,的对边分别是a,b,c,已知3/2sin2A=sinCcosB+sinBcosC a=1,cosB+cosC=2根号3/3，求c

Answer 1

sinA= sin(180°-B-C)＝sin(B＋C)＝sinCcosB+sinBcosC=3/2sin2A=3sinAcosA
cosA=1/3
sinA=2√2/3 根据： (sinA)^2+(cosA)^2=1
sinC=csinA/a=(2√2 c )/3　　　根据：sinA/a= sinC/c a=1
cosC=√(9-8c^2) /3 根据： (sinA)^2+(cosA)^2=1
cosB+cosC=2√3/3，B=180°-(A+C)
cosC- cos(A+C)= 2√3/3
cosC- cosAcosC+sinAsinC= 2√3/3
2cosC/3+c(sinA)^2=2√3/3
将sinA，cosC代入上式，并化简：
4c^2-4√3c+3=0
c=√3/2

Answer 2

△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c；已知(3/2)sin2A=sinCcosB+sinBcosC， a=1,
cosB+cosC=2(√3)/3，求c.
解：由(3/2)sin2A=sinCcosB+sinBcosC，得3sinAcosA=sin(B+C)=sin(180º-A)=sinA
故有3sinAcosA-sinA=(3cosA-1)sinA=0，因为sinA≠0，故必有3cosA-1=0，即有cosA=1/3；
sinA=√(1-1/9)=2(√2)/3；sin(A/2)=√[(1-cosA)/2]=√[(1-1/3)/2]=√(1/3)=√3/3；
又cosB+cosC=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
=2cos[(180º-A)/2]cos[(B-C)/2]
=2sin(A/2)cos[(B-C)/2]【代入sin(A/2)=√3/3】
=(2√3/3)cos[(B-C)/2]=2(√3)/3
∴cos[(B-C)/2]=1，故得(B-C)/2=0，即有B=C，
故C=(1/2)(180º-A)=90º-A/2，∴sinC=sin(90º-A/2)=cos(A/2)=√[1-sin²(A/2)]=√(1-1/3)=√(2/3)；
已知a=1，故由正弦定理得c=asinC/sinA=√(2/3)/[2(√2)/3]=(√2)/2.

追问

• 又cosB+cosC=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
  什么道理

追答

三角函数和差化积公式。

追问

好吧，我们没有学，但是我会做了
不过算出来的答案是c=√3/2
cosB+cosC=2√3/3=-cos（A+C）+cosC
=-cosAcosC+sinAsinC+cosC
=2/3cosC+2(√2)/3sinC
再根据 (sinA)^2+(cosA)^2=1列方程组
得sinC=√6/3
用正弦定理解得c=√3/2

追答

已知a=1，故由正弦定理得c=asinC/sinA=√(2/3)/[2(√2)/3]=[√(2/3)][3/2√2]=3/2√3=(√3)/2.
你说得对，我最后算错了！