Question

若函数f(x)=x³-3x在（a,6-a²）上有最小值，则实数a的范围是

Answer 1

答：
区间（a，6-a²），则6-a²>a，解得：-3<a<2。
f(x)=x³-3x
求导：f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)
f'(x)的零点为x1=-1，x2=1
x<=-1或者x>=1时，f'(x)>=0，f(x)是增函数；
-1<=x<=1时，f'(x)<=0，f(x)是减函数。
极大值f(-1)=-1+3=2，极小值f(1)=1-3=-2

因为：（a，6-a²）属于开区间，端点处无法取得最小值
所以：当x=1落在区间（a，6-a²）内时，f(x)有最小值f(1)=-2，a<1<6-a²，解得：-√5<a<1。

所以：-√5<a<1

Answer 2

f'（x)=3x^2-3=3(x+1)（x-1） f（X)在x=1取极小值
要使函数在开区间（a,6-a^2)上有最小值，则x=1必须包含于（a，6-a^2)有：
a<1<6-a^2.
解出a的取值范围即可。
1<6-a^2.
a^2<5
实数a的取值范围是-√5<a<1
（引用的）

追问

答案是【-2,1）

追答

x=1时，f(x)min=-2.
f(x)=x^3-3x=-2时
x^3-3x+2=0x³-x-2x+2=0
x(x²-1)-2x+2=0
x(x+1)(x-1)-2(x-1)=0
(x²+x)(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x²+x-2)=0
(x-1)(x+2)(x-1)=0
(x-1)²(x+2)=0
x=1,x=-2
∴-2<a<1<6-a^2
∴答案是【-2,1）
没考虑到-2处也有极小值呵呵