Question

设∫xf（x）dx=arcsinx+c，求不定积分∫[1/f（x）]dx， 为什么xf（x）=d（arcsinx

设∫xf（x）dx=arcsinx+c，求不定积分∫[1/f（x）]dx，
为什么xf（x）=d（arcsinx）/dx
解释一下，谢谢

Answer 1

两边求导即可：

追问

方框里最后一步是用了什么公式吗？

追答

可以说用了公式，但其实就是积分与求导的关系：被积函数积分得到原函数，那么原函数求导即为被积函数

类似于乘法与除法的关系a*b=c, 那么c÷b=a

追问

2x=d（x*2）/dx怎么得来的？

为什么∫x（√1-x平方）dx=-1/3(1-x平方)3/2次方+c

追答

图中画圈圈的式子表明：被积函数2x的原函数是x^2，那么反过来原函数x^2的导数即为2x

d(x^2)/dx表示x^2对x的导数

硬要公式的话，那就是如果∫f(x)dx=F(x)+C，那么f(x) = dF(x) / dx

而我之前回复的都是说明这个公式的来源——基于被积函数f(x)和原函数F(x)的关系

∫x√1-x^2）dx = 1/2 *∫(√1-x^2)d(x^2) = -1/2 *∫(√1-x^2)d(1-x^2) = -1/2 *2/3 * (√1-x^2)^3/2 + C = -1/3 * (√1-x^2)^3/2 + C

基本的凑微分

追问

我知道了，那∫x（√1-x^2）dx怎么化成1/3（1-x^2）^2/3+c，谢谢

追答

∫x√1-x^2dx = 1/2 *∫(√1-x^2)d(x^2) = -1/2 *∫(√1-x^2)d(1-x^2) = -1/2 *2/3 * (1-x^2)^3/2 + C = -1/3 * (1-x^2)^3/2 + C

追问

怎么凑？

追答

1-x^2)^3/2 + C

我已经发了三遍凑微分过程，你都没收到么？