Question

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABC

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
我知道要找AB的中点E 也知道OE、OD是定值
但不知道为什么要找中点
他不是用的山角形么？其他的点和OD也可以满足OD≥OD+OE啊？
为什么要找中点。。。

Answer 1

你没给图。想起来比较吃力。

首先，要注意的第一个问题是：∠MON=90°，即∠AOB=90°。想到什么了吗？点O在以AB为直径的圆周上。那么找到AB的中点E，即该圆的圆心是必然的了。

OE=1，DE=√2，OD≤OE+DE=1+√2

至于你问的为什么要找AB的中点E。因为无法在ABCD附近找到第二点，恰好当OD取最大值时，该点在OD上，且该点到点O的距离为定值。（固定矩形ABCD处理问题比固定∠MON容易得多，且M、N两点对题目没有任何价值，也就是说，相当于只有点O是可移动点，故找到与点O距离恒定的点只有AB的中点E。）

追问

额...图的问题你在网上查查就行了 把我的问题粘贴到百度上 就能找到图和解答过程 我只是不懂第一步为什么要找AB的中点E...
我的财富380 不算太穷 并且我不经常提问 所以对好的答案一般都会有加成的···

追答

因为要计算两点间距离的极值，必须找到与两点均有固定距离关系的点构成三角形计算。
而题目中关于点O的描述只有∠MON=90°，即∠AOB=90°，表明点O在以AB为直径的圆周上。与圆周上任意点距离恒定的，只有圆心一点，所以我们选择圆心，圆心正好是直径AB的中点，不是我们一定要选AB的中点来做题。
假设，如果在矩形ABCD外有一点P，点O的移动轨迹正好处于以P为圆心的某个圆周上，那么我们则会选择三角形OPD计算极值。
或者，如果我们不固定矩形ABCD而固定∠MON，你能找到一点Q，使得点D的移动轨迹处于以Q为圆心的某个圆周上，也可以。
再或者，你可以固定一个坐标轴，M为X轴正方向，N为Y轴正方向，通过计算得到点D在第一象限内的一条y=f(x)曲线，同样可以计算极值，得出结论。
只是我认为，正常最简单的做题方法应该还是我的方法。

Answer 2

∵△AOB是直角三角形
∴中线OE≡AB/2=1，为定值
而AB上除中点E外其余的点到点O的距离都是变化的，没办法求出OD的最大值
在O、E、D中，OE、ED为定值，那么OD的最大值就是三点成一线时的值，其实就这么简单

追问

额 OD=OE+ED ED为定制 就是求OE的最大值
OE是定值是一定是最大值么？

追答

不是求OE的最大值，OE也是定值
那么就是OED三点共线时OD有最大值，你错在OD=OE+ED,它们不一定相等的

追问

晕  我又回到原来的情况了  

OED三点共线时OD有最大值

为什么E一定要是AB的中点

找AB上的其他点为E 不也有OE+ED≥OD么？

那么OD不也是OED三点共线 的时候最大？

这个图是我评论中说的 呵呵 字数超了...

追答

按你图中为OD交AB于E，设AB中点为F
图1虽然OE＞OF，但是ED＜FD
图2虽然ED＞FD，但是OE＜OF
因为你的E是动点，实际上是无意义的，就是直接画出OD，但是你无法知道在什么情况下OD有最大值
如果你取任一定点E，因为OE不是定值，所以也无法知道在什么情况下OD有最大值
其实你不用想其它的点，哪一点都行，只要能得到答案就行