Question

一道七年级数学几何证明题

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF平行于AC交DE的延长线于点F，连接CF.
求证：CD=BF 2.求证：AD⊥CF 3.连接AF试判断△ACF的形状

Answer 1

证明：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=CB,∠A=∠ABC=45°;
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,故：∠EDB=180°-90°-45°=45°
∵AC∥BF，∴∠FBC=180°-∠ACB=180°-90°=90°
即ΔBFD是等腰直角三角形
∴BF=BD，又∵D是BC中点
∴CD=BD=EF

∵AC=BC，∠ACD=∠FBC=90°,BF=CD;
∴ΔCBF≌ΔACD(SAS)
∴∠CAD=∠BCF
又∵∠CAD+∠ADC=90°
∴∠BCF+∠ADC=90°
故：∠CGD=180°-(∠BCF+∠ADC)=180°-90°=90°
∴AD⊥CF

Answer 2

（1）证明：因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=角ABC=45度
因为BF平行AC
所以角BAC=角EBF
所以角EBF=角ABC=45度
因为DE垂直AB于E
所以角DEB=角BEF=90度
因为BE=BE
所以三角形DBE和三角形FBE全等（ASA)
所以BD=BF
因为点D是BC的中点
所以CD=BD
所以CD=BF
(2)证明：因为角DBE=角FBE=45度（已证）
角CBF=角DBE+角FBE
所以角CBF=90度
因为角ACB=90度
所以角ACB=角DBF=90度
因为AC=BC
CD=BF（已证）
所以三角形ADC和三角形BCF全等（SAS)
所以角DAC=角DCG
因为角ACB=角ACG+角CCG=90度
所以角DAC+角ACG=90度
因为角DAC+角ACG+角AGC=180度
所以角AGC=90度
所以AAD垂直CF
(3)因为角AGC=90度
所以三角形AGF是直角三角形

Answer 3

第一题带简单了，用全等，不说了
第二题真名全等后，∠CAD=∠BCG,∠ACG=∠CDA

所以△ACG相似与△CGD。你们没学过相似，其实就是两个三角形对应角相等，对应变成比例。全等是相似的一种情况。

Answer 4

解：（1）AD⊥CF
理由：∵△ABC为等腰三角形（已知）
∴∠CBA=∠CAB=45°（等腰直角三角形的定义）
∴AC=BC（等腰的定义）
∵∠ACB=90°（已知）
又∵BF∥AC（已知）
∴∠FBC=90°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ACB=∠FBC（等量代换）
∵D为BC中点（已知）
∴BD=CD（中点的定义）
∴∠ABF=45°（等量代换）
∵DE⊥AB（已知）
∴∠DEB=∠FEB=90°(垂直的定义)
在△DBE和△FBE中
∠ABF=∠ABD（等量代换）
∵ BE=BE（公共边）

∠DEB=∠FEB（已证）
∴△DBE≌△FBE（ASA）
∴DB=FB（全等三角形的对应边相等）
∴BF=CD（等量代换）
在△ACD和△CBF中
AC=BC（已证）
∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ACD≌△CBF（SAS）
∴CF=AD（全等三角形的对应边相等）
∠CAD=∠BCF（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCF+∠ACF=90°（已知）
∴∠CAD+∠ACF=90°（等量代换）
∴∠CGA=90°（直角三角形的定义）
∴AD⊥CF（垂直的定义）
（2）△ACF为等腰三角形
理由：连接AF
在△ADB和△AFB中
AC=BC（已证）
∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ADB≌△AFB（SAS）
∴AD=AF(全等三角形的对应边相等)
∵CF=AD（已证）
又∵AD=AF（已证）
∴CF=AF（等量代换）
∴△ACF为等腰三角形（等腰三角形的定义