Question

已知三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,且6条棱长的和为定值S,试求这个三棱锥体

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且6条棱长的和为定值S，试求这个三棱锥体积的最大值

Answer 1

设PA=a，PB=b，PC=c，则：
AB=v(a^2+b^2)，AC=v(a^2+c^2)，BC=v(c^2+b^2)，
S=a+b+c+v(a^2+b^2)+v(a^2+c^2)+v(c^2+b^2)
>=3(abc)^(1/3)+v2(vab+vbc+vac)
>=3(abc)^(1/3)+3v2(abc)^(1/3)
=3(v2+1)(abc)^(1/3)，
abc<=[S/3(v2+1)]^3=(5v2-7)S^3/27，当a=b=c时，等号成立，
VP-ABC=abc/6<=(5v2-7)S^3/162，
即这个三棱锥体积的最大值为(5v2-7)S^3/162。