一道高数题，第七题
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解:(1),由于f(x)=f′(1)e^(x-1)-f(0)x+1/2x²，则f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x，
令x=1得，f(0)=1，则f(x)=f′(1)e^(x-1)-x+1/2x²,
∴f(0)=f′(1)e^(-1) 则f′(1)=e，
得到f(x)=e^x-x+1/2x²，则g(x)=f′(x)=e^x-1+x，
g′(x)=e^x+1＞0，所以y=g(x)在x∈R上单调递增，
则f′(x)＞0=f′(0)⇔x＞0，f′(x)＜0=f′(0)⇔x＜0，
所以f(x)=e^x-x+1/2x²的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0).
令x=1得，f(0)=1，则f(x)=f′(1)e^(x-1)-x+1/2x²,
∴f(0)=f′(1)e^(-1) 则f′(1)=e，
得到f(x)=e^x-x+1/2x²，则g(x)=f′(x)=e^x-1+x，
g′(x)=e^x+1＞0，所以y=g(x)在x∈R上单调递增，
则f′(x)＞0=f′(0)⇔x＞0，f′(x)＜0=f′(0)⇔x＜0，
所以f(x)=e^x-x+1/2x²的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0).
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