Question

已知函数f(x)=alnx+1/2x2(a>0),若对于任意不等的正实数x1,x2都有f(x1)-f(x2)/x1-x2>2恒成立,则a的取值范

Answer 1

解：
对于任意不等的正实数x1,x2都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>2
则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立
f'(x)=a/x+x≥2在(0,+∞)上恒成立
则a≥(2x-x²)max=1
即a的取值范围是[1,+∞)

追问

为何f'（x）≥2恒成立

追答

导数的几何意义

追问

1)要使f(X1)-f(x2)/X1-X2＞2恒成立，只需f（x）的导数恒大于2
f'（x）=a/x+x>2
而a/x+x》2a 所以a>1
2)而当a=1时，f（x）=lnx+x2
f'(x)=1/x+x》2，当且仅当X1=X2=1时才取等号，而条件中是要求任意两个不等的正实数X1,X2,故有f'（x）=1/x+x>2
。

综上述 a>=1

追答

导数的几何意义就是求斜率

k=(y1-y2)/(x1-x2)
这里的y1,y2分别是f(x1),f(x2)
等号的求取要考虑临界点是否可取