Question

设f(x)是(-∞,+∞)上周期为T的连续函数,证明

求全过程

Answer 1

可以利用变上限积分来伏派闹证明：
把T看做主变量，那么当T=0时，
等式左边=0，右边=0，因此等式对任何可积函数f(x)成立。
左边对T求偏导数，结果为n*f(nT)，
右边对T求偏导数，结果为n*f(T)。缺罩因为f(x)的周期性，所以左边等于右边。
所以等式对任何以T为周期的可积函数成立。
当然还有更加基本的做法，就羡宽是利用定积分的可加性，利用周期性对第一个积分区间进行平移即可。

追问

用换元法能解吗

追答

换元法是技巧，方法还是积分区间的平移、拆分，周期性是一定要用到的