Question

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）

Answer 1

首先，分成三种情况讨论
1、y=ax+b和x轴交点在A时，容易得b=1/3；因为此时以AB为底边，高只能为oc的一半，所以y=ax+b与BC直线（x+y=1）交于（1/2，1/2）点，A（-1,0），所以b=1/3；
2、当y=ax+b和x轴交点在A与（0,0）点之间时，不妨设为（x0,0）点，x0=-b/a；又知y=ax+b与BC线段交于（x1，y1）点，x1=（1-b）/（1+a），y1=（a+b）/（1+a）
ABC面积=1，所以分割后的三角形面积=1/2=（1/2）*（1-x0）*y1
所以（a+b）平方=a*(1+a)；即a=b*b/（1-2b）大于0，所以b小于1/2；
3、当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时，明显b不能超过1/3；但也不能趋于0；
选B
如果展开第三点讨论，设y=ax+b与直线CA的延长线交（x2，y2）点，与BC交（x3，y3）点
得x2=（1-b）/（1+a），x3=（1-b）/（1+a），
面积=1/2=（1/2）*（1-b）*（x3-x2）
所以，(1-b)(1-b)=(1-a*a)/2,a大于零，所以b大于1-根号2/2。

Answer 2

三角形重心为（0， 1/3）
代入直线b=1/3
四个答案都是错误的。

Answer 3

原题是：已知A（-1,0）、B（1,0）、C（0,1），直线y=ax+b（a>0）将 ABC分割为面积相等的两部分，则的b取值范围是
A（0,1） B（ ， ） C ( , ) D（ ， ）
分析：如图所示直线y=ax+b分割三角形ABC为面积相等的两部分,由a>0可以知道，直线将三角形ABC分割成了一个三角形和一个四边形，直线y=ax+b与x轴交点位置为分类标准会有如下三种情形：
直线y=ax+b与x轴交点位置在OA之间时，刚好经过A点时，以及产生在A点左侧三种情形。（容易判断直线与x轴的交点不会产生在OB段落上）
x
y
O
A
B
C
D
E
图1
第一种情形可知：如图1所示，直线y=ax+b与x轴交点位置在OA之间的D点时，即-1< <0 ①,直线与三角形的另外一个交点E产生在线段BC上，则D ( ,0),E 由此可知S = = = .整理为： =1，即： ②。
综上整理得：。由①、②可以转化为： 即
解得 。
x
y
O
A
B
C
E
图2
第二种情形：如图2所示，直线y=ax+b正好经过点A，此时直线分割三角形ABC为面积相等的两部分一定会经过边BC的中点E,由直线y=ax+b经过点A（-1,0）和BC的中点E（ , ）知道a=b= .
x
y
O
A
B
C
E
图3
D
F
G
第三种情形，如图3所示, 直线y=ax+b与x轴交点位置在A点左侧的D点时，即 <-1③,直线与三角形的另外两个交点E、F产生在线段BC、AC上，则D( ,0),E 、F ，由此可知：S = = = ，整理 ，解得： ④，由③、④两式可得如下不等式组： ，整理得 ，
解得： .
综上所述：

Answer 4

D y=ax+b ①与BC边相交 ax+b=-x+1 得x=（1-b）/(1+a) y=(a+b)/(1+a) S=(1+ b/a)*{(a+b)/(1+a)}=1/2 得（1-2b)*a=b^2 ∴a<1/2 又有当b=1/3 时成立 所以选D