Question

已知实数x,y满足x^2+y^2+4x-2y-4=0,则x^2+y^2的取值范围是多少

说下过程，谢谢

Answer 1

x^2+y^2+4x-2y-4=0
可以化成
(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9
所以是以(-2，1)为圆心、半径为3的圆
x^2+y^2表示原点到这个圆上的任意一点的距离
那么可想而知，最近、最远的距离就是把原点(0，0)与圆心(-2，1)连起来
与圆相交得两个点
一个就是距离最长的，另一个就是最短的
过（0,0）（-2,1）的直线为y=-1/2 x
与圆交于(-2(1+3/√5)，1+3/√5)
(-2(1-3/√5)，1-3/√5)
那么最长就是14+6√5，最短为14-6√5
所以x^2+y^2∈[14-6√5，14+6√5 ]

Answer 2

答：
x²+y²+4x-2y-4=0
(x+2)²+(y-1)²=9
圆心(-2,1)，半径R=3
设x=-2+3cost，y=1+3sint

原式=x²+y²
=4+2y-4x
=4+2+6sint+8-12cost
=14+6√5*[sint*(1/√5)-cost*(2/√5)]

=14+6√5sin(t-β)

所以：14-6√5<=x²+y²<=14+6√5
所以：x²+y²∈[14-6√5，14+6√5]

Answer 3

已知实数x,y满足x²+y²+4x-2y-4=0,则x²+y²的取值范围是多少
解：x²+y²+4x-2y-4=(x+2)²+(y-1)²-9=0，即有(x+2)²+(y-1)²=9；
这是一个园心在(-2，1)，半径R=3的园；设x=-2+3cost，y=1+3sint，(0≦t≦2π)则：
u=x²+y²=(-2+3cost)²+(1+3sint)²=4-12cost+9cos²t+1+6sint+9sin²t=14-12cost+6sint
=14-12[cost-(1/2)sint]=14-12(cost-tanθsint)=14-12(1/cosθ)(costcosθ-sintsinθ)
=14-(12/cosθ)cos(t+θ)
其中tanθ=1/2，sinθ=1/√5，cosθ=2/√5；
故u=14-6(√5)cos[t+arctan(1/2)]
当cos[t+arctan(1/2)]=-1，即t+arctan(1/2)=π，t=π-arctan(1/2)时u获得最大值14+6√5；
当cos[t+arctan(1/2)]=1，即t+arctan(1/2)=2π，t=2π-arctan(1/2)时u获得最小值14-6√5。

Answer 4

已知等式配方得 (x+2)^2+(y-1)^2=9 ，
它表示圆心在 A（-2，1），半径为 3 的圆，
而 x^2+y^2 表示该圆上的点到原点的距离的平方。
由于 |AO|=√(4+1)=√5 ，因此圆上点到原点的距离范围是 [3-√5，3+√5] ，
所以 x^2+y^2 的范围是 [(3-√5)^2，(3+√5)^2] ，也即 [14-6√5 ，14+6√5] 。