Question

高等数学求最大值与最小值问题

1.例3是有过程的，但是我不太明白他是怎么判断1,2就是不可导点的？
我去百度了一下，不可导点分为四种，无定义的点、不连续的点、连续但是左右两边斜率不等的点（尖点）、有定义连续光滑但是斜率是无穷的点。
我给这函数画了张图，发现1,2是尖点，所以不可导

但是如果我遇到画不出图的函数应该怎么求不可导点？并不是每一个函数都有不可导点，我遇到画不出的图的函数怎么知道他有没有不可导点？大家是怎么做最大最小问题的？

Answer 1

你的这个问题反映了我们在讲解最大值、最小值求解时，对最值问题的性质讲解得不透。最值问题主要是要找出可疑点，然后比较可疑点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值，而可疑点则包括：闭区间的端点、驻点、一阶导数不存在点以及分段函数的分段点。
本题x=1和x=2作为分段点，并无必要判断其是否可导，直接将其纳入可疑点即可。
除分段函数的分段点以外的一阶导数不存在点相对容易判断。

Answer 2

答：画不了图的时候，你可以把分段函数求导，然后把临界点的自变量代入进去，
看看临界点处的导数值（即两端斜率）是不是一致的，如果是一致的就可导，
如果不是一致的就不可导。

比如例题：
-3<=x<=1或者2<=x<=4时，f(x)=x²-3x+2，f'(x)=2x-3，f'(1)=-1，f'(2)=1；
1<=x<=2时，f(x)=-x²+3x-2，f'(x)=-2x+3，f'(1)=1，f'(2)=-1.
你可以发现，临界点两端的导数值是不是一样的，因此1和2是不可导的。

求函数的最大最小值，有导数法、配方法、判别式法等等，需要根据具体的情况选择较简单的方法。

Answer 3

导数存在的前提是“左导数=右导数”，
在点1处，此题中函数f(x)的导函数当x<1时为f(x)=2x-3，当1<x<2时为f(x)=-2x+3，所以在点1处左导数为-1，右导数为+1，故在此处不可导。
因此不需要画图，只要按照变量区间写出函数和导函数的表达式来，就可以判断在哪些点是否可导的。

Answer 4

函数去掉绝对值就没有不可导点，不可导点的值为0；