Question

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且cos（向量AB，向量AC）=1/4

（1）求sin²（（B+C）/2）+cos2A 的值
（2）若a=4 b+c=8 且b＜c，求b，c的值

Answer 1

cosA=1/4
sin²((B+C)/2)+cos(2A)=(1-cos(B+C))/2+2cosA^2-1

=(1+cosA)/2+2cosA^2-1=5/8+1/8-1=-1/4
a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc/2=16
即：(b+c)^2-5bc/2=64-5bc/2=16，即：bc=96/5
而：b+c=8≥2sqrt(bc)，即：bc≤16，与bc=96/5矛盾
故此题数据有问题，无解

追问

第2小题呢？

追答

上面已经做了，题目数据有问题，无解

Answer 2

cosA=1/4
sin²[(B+C)/2]+cos2A=sin²[(π-A)/2]+cos2A=cos²(A/2)+2cos²A-1=-0.5+0.5cosA+2cos²A=-1/4
由正弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA可得
b²+c²-0.5bc=16
又∵b+c=8 且b＜c
∴b=(20-4√10)/5,c=(20+4√10)/5