Question

已知函数fx=x²，gx=alnx,a∈R,（1）存在x大于等于1，fx<gx,求实数a的取值范围

（2），证明：方程fx-gx=ax(a>0),有唯一解的充要条件是a=1

Answer 1

（1）存在x>1，f(x)<g(x),即x^<alnx,
∴a>x^/lnx,记为h(x),
h'(x)=(2xlnx-x)/(lnx)^=2x(lnx-1/2)/(lnx)^,
1<x<√e时h'(x)<0,h(x)↓；x>√e时h'(x)>0,h(x)↑。
∴h(x)>=h(√e)=2e,
∴a>2e,为所求。
（2）x^-alnx=ax(a>0)有唯一解，
<==>F(x)=x^-alnx-ax=0有唯一解，
F'(x)=2x-a/x-a=(2x^-ax-a)/x=2(x-x1)(x-x2)/x,
其中x1=[a-√(a^+8a)]/4,x2=[a+√(a^+8a)]/4,
注意到x1<0<x2,0<x<x2时F'(x）<0,F(x)↓；x>x2时F'(x)>0,F'(x)↑，
∴F(x)>=F(x2)=0,
{[a+√(a^+8a)]/4]^-aln{[a+√(a^+8a)]/4}-a[a+√(a^+8a)]/4]=0,
[-a^+4a-a√(a^+8a)]/8=aln{[a+√(a^+8a)]/4},a>0,
∴[4-a-√(a^+8a)]/8=ln[a+√(a^+8a)]-2ln2,
左边是减函数，右边是增函数，此方程只有一解：a=1.
证完。