Question

2013年高考理数 立体几何问题 求解！

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值

Answer 1

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值

（1）证明：∵在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点
∴EF//AB，DC//AB
∵PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H
∴G,H分别为为⊿PAQ，⊿PBQ的重心
∴QG/QE=QH/QF=2/3==>GH//EF==>GH//AB

(2)解析：∵PB⊥平面ABQ，AQ=2BD
∴⊿ABQ为Rt⊿，∠ABQ=90°
∴面PBQ，面PBA，面ABQ两两垂直
又AB//EF//GH//DC
∴GH⊥面PBQ==>GH⊥QF，GH⊥PC
∴∠CHF为二面角D-GH-E的平面角
∵BA=BP=BQ，设AB=2
连接FC，则FC=√2
PC=QF=√5==>HF=HC=√5/3
由余弦定理
cos∠CHF=(HF^2+HC^2-FC^2)/(2*HF*HC)=-4/5
∴二面角D-GH-E的余弦值为-4/5

Answer 2

1. GH//EF ,AB//EF , AB//GH
2. AQ = 2BD.角ABQ = 90， AB垂直BQ.

AB 垂直平面PBQ, EF垂直平面PBQ, 所以 角FHC 是二面角的平面角。
cos .... =