Question

高阶微分方程组的解法

讲述各类高阶微分方程组的解法

Answer 1

一、 型的微分方程特征：该类方程仅含未知函数的n阶导数y(n) ，不含未知函数y。方法：通过n次积分就可得到方程的通解。举例：例1． 解方程 解：对原方程积分有再积分有： 所以原方程的通解为例2．试求 的经过M（0，1）点，且在该点与直线 相切的积分曲线。解：对方程 两端积分有 由初始条件知 X＝0时 代入 对方程 两端再积分有由初始条件x=0,y=1,知C2=1故所求曲线为 型的微分方程特征：此类方程的特点是，方程右端不显含未知函数y。方法：令 则有 代入原方程得： 得到一个关于自变量X和未知函数P(X)的一阶微分方程，求出其通解P＝P（X,C1,）则有 再积分一次就能得原方程的通解举例：例3，求方程 的通解解：设 代入原方程可得： 分离变量则有 即： 得：y=C1ln|x|+C2 为原方程之通解(C1,C2为任意实数)例4．求方程 满足初始条件的特解解：设 则 所以原方程可写成： 分离变量则有： 两边积分即： 由初始条件：y |x=0=3得C1＝3有y ＝3（x2+1）积分得y=x3+3x+c2再由初始条件y |x=0=1得C2＝1故所求特解为y=x3+3x+1三、 型的微分方程特征：此类方程的特点是，方程中不显含自变量X。方法：令 ，注意到方程中含有y而不含x，想法令代换后出现dy，而不出现dx，则有原方程可化成 该方程为关于变量y，p的一阶微分方程，从方程中求得P，最后再确定原方程的解y=y(x.c1,c2 ).举例例5，解方程 解：设 （要注意设法与“＝”的不同处）于是原方程为 当P＝0时，由方程得y=c当 所以 所以 积分得，原方程的通解为： 例 6：解方程 解：设 所以有 若p=0有y=c若p≠0有 所以－ln|1-p|=ln|y|-lnc1即y(1-p)=c1即 所以有 原方程的通解为y+c1ln|y-c1|=x+c2例7，解方程 解，该方程中既缺x，又缺y，按理说按类型二或类型三都行，若按类型二，令 ， 代入原方程有 。该积分稍有些麻烦故可按类型三解此题令 代入原方程有 所以有： 积分得 整理得： 所以有： 即： 整理得：（x+c2）2+(y+c1)2=1即为原方程之通解，其解曲线为一单位圆。四、课堂练习1、求微分方程 的通解2、形如 的微分方程 求其通解。答案：1、因方程中缺少函数y，则可设 ,则 于是有： 为一个贝努利方程，变形有则 有 该方程是z关于x的一阶线性非齐次方程，可以采用常数变易法求出其通解：先求对应的齐次微分方程 的通解。 为非齐次微分方程 的解代入得 即 所以 于是非齐次微分方程 的通解为 由原题设知 即 再积分得原方程的通解为：2、因方程缺少自变量x，则可设 则 代入方程有整理： 当 则有 即有 有 则原方程的通解为 可验证p=0，p=1时，y=c，y=x也是方程的解，即补解

Answer 2

主要思想就是降阶