Question

求过程及答案 直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点

(1)求AB的长度
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由

Answer 1

设交点为(x1,y1),(x2,y2)
|AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²) 将y2=kx2+1,y1=kx1+1 代入得

|AB|=√((x2-x1)²+(kx2-kx1)²)
=√(1+k²)|x2-x1|

将直线l:y=kx+1代入双曲线C:3x^2-y^2=1 得

3x²-(kx+1)²=1

整理得 3x²-k²x²-2kx-2=0

两根之差的绝对值为
|x2-x1|=√((x1+x2)²-4x1x2)=√(2k/(3-k²))²+8/(3-k²))
=√(2k+8(3-k²)/|3-k²|
=√(2k+24-8k²)/|3-k²|

|AB|=√(1+k²)*√(2k+24-8k²)/|3-k²|

(2)
y=kx+1与3x²-y²=1联立消去y可得:(k²-3)x²+2kx+2=0,由韦达定理可知：
Xa+Xb=2k/(3-k²),XaXb=2/(k²-3)
若以AB为直径的圆过坐标原点O,则OA⊥OB
Ya/Xa * Yb/Xb=-1即XaXb+YaYb=0,代入Ya=kXa+1,Yb=kXb+1
XaXb+(kXa+1)(kXb+1)=0
(1+k²)XaXb+k(Xa+Xb)+1=0
代入Xa+Xb=2k/(3-k²),XaXb=2/(k²-3) 得到：
2(1+k²)/(k²-3) + 2k²/(3-k²) +1=0 解得k=±1
所以，存在K．
AB中点M横坐标Xm=(Xa+Xb)/2=2k/(3-k²)=±1,
Ym=(Ya+Yb)/2=k(Xa+Xb)/2 +1=2k²/(3-k²) +1=2
所以圆心M坐标(±1,2)
圆M过原点，方程可以写成：
[x-(Xa+Xb)/2]²+[y-(Ya+Yb)/2]²=[(Ya+Yb)/2]²+[(Xa+Xb)/2]²

即(x±1)²+(y-2)²=5