Question

已知数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an-n²+3n

已知数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an-n²+3n（n属于N+）
(1)求a2,a3的值
（2）数列｛an+ λn²+μn｝是公比为2的等比数列，求λ，μ的值
（3）在（2）的条件及结论下，设bn=1/an+n-2^n-1,Sn=b1+b2+b3+...+bn,证明：Sn＜5/3

Answer 1

不得不说这道题出题人绝对的欠扁，一个单纯的裂项法居然要放缩到第五项才满足题意，单纯的增加计算量。

Answer 2

由已知数列{a[n]}中，a[1]=1，a[n+1]=2a[n]-n²+3n 注： [ ]内为下标
(1) a[2]=4,a[3]=10
(2)设c[n]=a[n]+ λn^2+μn
由已知 a[1]=1
当n>=2时，a[n]=2a[n-1]-n^2+5n-4
a[n]-n^2=2(a[n-1]-(n-1)^2)+n-2
a[n]-n^2+n=2(a[n-1]-(n-1)^2+(n-1))
可得λ=-1，μ=1
(3) 由(2)得 c[n]=a[n]-n^2+n
c[1]=1,且n>=2时 c[n]=2c[n-1]
所以c[n]=2^(n-1)
a[n]=2^(n-1) +n^2-n
b[n]=1/(a[n]+n-2^(n-1))=1/n^2
可证得：S[1]=1<5/3,S[2]=5/4<5/3,S[3]=49/36<60/36=5/3
S[4]=205/144<240/144=5/3 S[5]=5129/3600<6000/3600=5/3
当n>=6时
S[n]=S[5]+a[6]+...+a[n]<5129/3600+1/(5*6)+1/(6*7)+...+1/((n-1)*n) 从第6项开始放大
=5129/3600+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+...+(1/(n-1)-1/n)
=5129/3600+1/5-1/n<5129/3600+1/5=5849/3600<6000/3600=5/3
对一切正整数n,S[n]<5/3
此题要从第6项放大才行。

希望对你有点帮助！

Answer 3

1)a2=4；a3=10
an=[C(n+2)~(n-1)]
后面的不太好算

追问

λ，μ的值是-1和1吗

追答

μ好像不对。

追问

给个过程谢

追答

...我算错了。。你对的。。第二题的通项是2^(n-1)
第三题你的表述有点杂。要不拍张图吧

追问

bn=1/n²如何求sn＜5/3没有图 表述的和原题一样

追答

利用x^2的傅里叶级数展开可以证明上式的极限是π²/6<5/3

Answer 4

第三问，用因式分解再裂项相加

追问

请问bn=1/n² 如何裂项相加