Question

已知二次函数图像的对称轴为直线X=2，经过两点（0，3）和（-1，8），并与X轴的交点分别为点B、C

已知二次函数图像的对称轴为直线X=2，经过两点（0，3）和（-1，8），并与X轴的交点分别为点B、
C(点C在点B的左边），其顶点为点P。（1）求此二次函数的解析式。
（2）如果直线y=x向上或向下平移经过点P，求证：平移后的直线一定经过点B。
（3）在（2）的条件中，能否在直线y=x上找一点D，使四边形OPBD是等腰梯形，若能，请求出点D的坐标;若不能，请简要说明你的理由。
无图也可做。请写明过程.....不用画图。

Answer 1

（1）求此二次函数的解析式
根据已知条件,设此二次函数的解析式:y=ax^2+bx+c
二次函数图像的对称轴为直线X=2，经过两点（0，3）和（-1，8）
3=c
8=a-b+c=a-b+3
b=a-5......(1)
y=a[x+b/(2a)]^2+3-b^2/(4a)
-b/(2a)=2
b=-4a......(2)
a=1,b=-4,c=3,顶点为P(2,-1)
此二次函数的解析式:y=x^2-4x+3,
（2）如果直线y=x向上或向下平移经过点P，求证：平移后的直线一定经过点B。
y=x^2-4x+3
y=0
x^2-4x+3=0
(x-1)*(x-3)=0
x=1,3
C(1,0),B(3,0)
kBP=(0+1)/(3-2)=1
直线y=x向下平移经过点P(2,-1)，则一定经过点B(3,0)

（3）在（2）的条件中，能否在直线y=x上找一点D，使四边形OPBD是等腰梯形，若能，请求出点D的坐标;若不能，请简要说明你的理由。
四边形OPBD是等腰梯形
OD//PB,OP=BD
BD^2=OP^2=5
设D(m,m),则
BD^2=(m-3)^2+m^2=5
m=1,2
D(1,1),或D(2,2)
检验:D(1,1),kBD=-1/2=kOP,OPBD是平行四边形
D(2,2),kBD=-2
故D(2,2),使四边形OPBD是等腰梯形