Question

设锐角三角形abc的内角A,B,C对边分别是a,b,c,根号3a=2bsinA,a+c=4,求AC边中线最小值

Answer 1

由正弦定理得根号3sinA=sinBsinA，
故sinB=根号3/2
于是得B=60度或120度（因锐角三角形舍去）
所以cosB=1/2
余弦定理得a^2+c^2-ac=b^2
AC边中线^2=1/2a^2+1/2c^2-1/4b^2
=1/2a^2+1/2c^2-1/4(a^2+c^2-ac)
=1/4a^2+1/4c^2+1/4ac
=1/4(a+c)^2-1/4ac=4-1/4ac
>=4-1/4*[(a+b)/2]^2 （均值不等式变形）
=3
即AC边中线最小值根号3，当且仅当a=c=4时取等
（中线长公式是斯特瓦尔特定理推论，不知道的话，自己查）
注：可以倍长中线，得到平行线，再使用余弦定理得AC边中线^2=1/4a^2+1/4c^2+1/4ac