Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 1 2 AA1，D是棱AA1的中点．

Answer 1

望采纳，(*^__^*) 嘻嘻 解：（1）证明：过点N作NH⊥AB于H，连接MN．
∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，且NH⊥AB，
∴NH⊥面ABB1A1，
∴MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH= 342
在Rt△MAH中，tan∠AMH= AHAM= 32，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1= AA1A1P= 32，
∴∠AMH=∠APA1，
∵∠A1AP+∠AMH=∠A1AP+∠APA1=90°，
∴MH⊥AP．
由三垂线定理知MN⊥AP．
（2）取B1C1的中点D，连接DN、DA1
过点P作PF⊥AD于E，过E作EF⊥AN于F，连接PF，
由三垂线定理知：∠PFE为二面角M-AN-P的平面角．
在△A1B1D中，cos∠B1A1D= A1 B2 1+A1D2-B1D22A1B1�6�1A1D= 3 1010，
在Rt△PEA1中，PE=A1P�6�1sin∠B1A1D= 2 515，
∴tan∠PFE= PEEF= 2 5152= 1015．
故二面角M-AN-P的正切值为 1015．