Question

一道导数题目 求大神解答

已知函数f(x)=(2+a)x+a^2㏑x a∈R
g(x)=x^2+2x
1.设两曲线有公共点 且公共点处切线相同,求实数a的值
2.对任意x属于闭区间[1，e], g(x)>f(x)恒成立 求a取值范围

Answer 1

公共点，所以函数值相同，切线相同，导数相同
(2+a)x+a^2㏑x=x^2+2x
(2+a)+a^2/x =2x+2
解出a=1,x=1

第二问，只需使g(x)-f(x)>0在1，e内恒成立
设F=g(x)-f(x)=x^2-ax-a^2lnx
F'=2x-a-a^2/x
分情况讨论a<=0时，F’在1，e内>0，最小值F(1)>0(a<1)即可,取交集a<=0

a>0时，F'=0的两点为x=-a/2和x=a
也就是说，导数在0，a的范围内单减，(a，无穷)的范围内单增
a<1时，F在1，e单增，最小值F(1)>=0
1<a<e时，F在1，e内最小值F(a)>=0
1<a时，F在1，e单减，最小值F(e)>=0

算出来取交集。。。。。不算了，先去吃饭。。。。有问题在找我。。。

追问

第一问
(2+a)x+a^2lnx=x^2+2x
这个条件怎么用
我把(2+a)+a^2/x=2x+2化解
得到x1=a，x2=-a/2
接着怎么办？如何把x2舍掉？

追答

x=a代入(2+a)x+a^2㏑x=x^2+2x，得到a^2lna=0，a=1
x=-a/2代入(2+a)x+a^2㏑x=x^2+2x，得到ln(-a/2)=3/4，a=-2*e^(3/4)

上面的结果少写了一个。。。