Question

已知函数f(x)=x(x 的平方-ax-3）

(1)若f(X)在区间[1,+无穷大)上是增函数,求实数a的取值范围
（2）若x=1/3是f(X）的极值点，求f(X）在区间[1，4]上的最大值。

Answer 1

f(x)=x(x^2-ax-3）=x^3-ax^2-3x
f'(x)=3x^2-2ax-3
(1)若f(X)在区间[1,+∞)上是增函数
即f'(x)=3x^2-2ax-3在区间[1,+∞)上恒>=0
f'(x)=3x^2-2ax-3>=0
(3x^2-3)>=2ax
∵x>=1
∴(3x^2-3)/(2x)>=a
设g(x)=(3x^2-3)/(2x)
g'(x)=6(x^2+1)/(4x^2)>0
∴g(x)最小值=g(1)=0
∴实数a的取值范围a<=0
（2）f'(x)=3x^2-2ax-3
f'(1/3)=1/3-2a/3-3=0
a=-4
f(x)=x^3+4x^2-3x
f'(x)=3x^2+8x-3=(3x-1)(x+3)
令f'(x)>=0
x<=-3或x>=1/3
x∈[1，4]
∴f(1)=1+4-3=2
f(4)=64+64-12=116>2=f(1)
∴最大值f(4)=116
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Answer 2