Question

已知a大于0,b大于0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于或等于25/4。解法里面有一步不懂。求指点！可以加悬赏！

在线等。
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16 #
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
打# 的这一步不懂。为什么？？？！！

Answer 1

(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab

∵(a+b)/2≥√(ab)
∴ab≤[(a+b)/2]²=1/4
0<ab≤1/4

设x=ab∈(0,1/4]，
g(x)=(ab-1)^2+1=（x-1)²+1在(0,1/4]上递减
且为正值 g(x)≥g(1/4)=25/16

y=1/x在(0,1/4)上递减，且为正值
∴函数h(x)=[(x-1)²+1]/x为减函数
∴x=1/4时取等号

法2：
原式=[(ab)²-2(ab)+2]/(ab)
(ab)+2/(ab)-2
设x=ab∈(0,1/4]
设函数f(x)=x+2/x-2
f'(x)=1-2/x²>0
∴f(x)在(0,1/4]上递减
∴x=ab=1/4时，f(x)取得最小值25/4
即(ab)+2/(ab)-2取得最小值25/16

Answer 2

ab>=(a+b)的平方/4=1/4

(ab-1)^2+1≥25/16

追问

为什么ab≥（a+b)平方/4

那不应该是≤吗

追答

不好意思 我想错了 是≤
已经有人解好了 我该认真思考下