Question

已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为根号2，求双曲线的方程。

Answer 1

因为双曲线两个顶点距离为2，所以长轴为2,那么长轴的一半a=1

根据椭圆性质求出右焦点F(根号下(a^2+b^2),0) 渐近线的方程为bx-ay=0 (不是非得去右焦点，因为都是一样的，只是抽出其中一个焦点算罢了)

根据点线距离公式，求出F到渐近线的距离刚好为b,所以b=根号2

所以该双曲线的标准方程为x^2-y^2/2=1

当双曲线与x轴对称时 方程为x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数

同理，双曲线也可以开口纵向，即焦点为(0,根号下(a^2+b^2)),此时双曲线的标准方程为 y^2/2-x^2=1

当双曲线与x轴对称时 方程为(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数

综上，

双曲线的方程有四种

(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数

Answer 2

∵双曲线的对称轴为坐标轴
∴设(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 （a＞0，b＞0）①
或（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1 （a＞0，b＞0）②
由题意可得，
①∵两个顶点间的距离为2 ∴2a=2，a=1,a^2=1
∵焦点到渐近线的距离为根号2 ∴∣bc/a∣/[√（b/a）^2+1]=√2
b=√2,b^2=2
∴方程为：x^2-y^2/2=1
②∵两个顶点间的距离为2 ∴2b=2，b=1,b^2=1
∵焦点到渐近线的距离为根号2 ∴∣ac/b∣/[√（a/b）^2+1]=√2
a=√2,a^2=2
∴方程为：（y^2/2）-x^2=1