Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B（0，-1），右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3

是否存在斜率为k（k≠0）的直线l与C交于M,N两点，使BM=BN?若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由
http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/206720/

Answer 1

椭圆右焦点F2(c,0)到直线l x-y+2倍根号2=0 的距离为3
所以 d=|c+2倍根号2|/(根号2)=3 所以c=根号2
因为椭圆的一个顶点B(0,-1) 所以b=1 所以 a=根号3
所以椭圆方程 (x平方/3)+y平方=1
若存在直线L ，且L与椭圆相交的两个点M和N，形成BM=BN。设MN中点为Q(x0，y0)
所以 BQ垂直于MN
直线L的斜率为k，所以BQ的斜率为-1/k
设M(x1，y1) N(x2，y2) 因为M和N点为直线L与椭圆交点
所以M和N点满足 (x1平方/3)+y1平方=1..........(1)式
(x2平方)/3+y2平方=1 (2)式 (1)-(2)
所以[(x1平方-x2平方)/3]+(y1平方-y2平方)=0
(x1+x2)(x1-x2)/3+(y1+y2)(y1-y2)=0 所以 2x0(x1-x2)/3+2y0(y1-y2)=0
所以 (y1-y2)/(x1-x2)=k=-x0/y0 所以y0=-kx0
直线BQ方程 y+1=(-1/k)x 所以y0+1=(-1/k)x0=-kx0+1
所以 k平方x0-x0+k=0 即k平方*x-x+k=0 所以x=-k/(k平方-1)
因为中点Q的横坐标范围是 -根号3 <x0<根号3
所以 即 -根号3< -k/(k平方-1)<根号3 求出k

Answer 2

B(0, -1), b = 1
F2(c, 0)
F2到直线x-y+2√2=0的距离为3 = |c + 2√2|/√2
c = √2 (舍去c = -5√2 < 0)
a = √(2 + 1) = √3
以B为圆心的圆关于y轴对称，椭圆也是，所以交点肯定关于y轴对称，如果交点M, N存在，MN总与x轴平行, k = 0。