Question

高中数学抛物线的问题，高手进。。。。

y^2=x的一组斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。
帮帮忙啊~有没有人会啊？？？

Answer 1

y=2x+a
代入(2x+a)^2=x
4x^2+(4a-1)x+a^2=0
x1+x2=-(4a-1)/4
y1+y2=(2x1+a)+(2x2+a)=2(x1+x2)+2a=1/2
所以中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
则x=-(4a-1)/8=-a/2+1/8
y=1/4
要直线和抛物线有交点
必须4x^2+(4a-1)x+a^2=0有解
(4a-1)^2-16a^2>=0
a<=1/8
-a/2>=-1/16
-a/2+1/8>=1/16

所以中点的轨迹方程是
y=1/4
且x>=1/16
是一条平行于x轴的射线

Answer 2

将
y^2=x，
y=2x+b
联立（b为参数），解关于x和y方程（求平行弦的含参数b的端点坐标），因最终和解二次方程，得到两组（含参数b）解(x1(b),y1(b))和(x2(b),y2(b))，弦中点坐标为
x=(x1(b)+x2(b))/2
y=(y1(b)+y2(b))/2
这实际上就是中点轨迹的参数方程（含参数b），消去b即可得到方程，但有一点要注意：轨迹是射线，端点处参数b的值是下面方程组的解
x1(b)=x2(b)
y1(b)=y2(b)
解出b代入(x1(b),y1(b))或(x2(b),y2(b))就是射线端点坐标(x0, y0)，
射线方程是在x>x0条件下的，别漏了这条件