Question

问几道高一数学题 在线等 急急急

1.空间四边形ABCD中，AB，BC,CD的中点分别为M,N,P,且MN=2,MP=3,NP=3,求异面直线AC与BD所成的角。
2.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，（1）若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形。（2）若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形。
3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，已知EF和GE相交于P，求证：PE,HG,AC三线共点。

Answer 1

1）
由题设可知，MN、NP分别为三角形ABC、BCD的中线，所以MN||AC，NP||BD。
所以AC和BD的夹角等于MN和NP之夹角。
在三角形MNP中：MN=2,MP=3,NP=3
所以角MNP=arccos(1/3)
2）
2.1）若AC=BD，由题设可知，EF、FG、GH、HE分别为三角形ABC、BCD、ACD、ABD的中线。
以上四个三角形拥有相等的底边BD和AC，所以这四条中线等长，因此四边形EFGH四边等长是菱形。
2.2）若AC⊥BD，因EF、FG、GH、HE分别为三角形ABC、BCD、ACD、ABD的中线，所以他们分别平行于底边BD和AC。
AC⊥BD，所以EF||HG，EH||FG，且EF⊥EH
于是四边形EFGH是矩形。
3)
由题目画图可知PE、HG、AC分别是
面EFCA与面PFG；面HGCA与面PFG；面EFCA与面HGCA的交线
因三面共点（除非交线平行）且交线共点
所以题目得证。