Question

设随机变量ξ,η的联合分布是正方形G={(x,y):1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的

概率密度p(u)

Answer 1

设随机变量(ξ,η)的联合概率密度f(x,y)=1/9，在G={（x,y)：1≤x≤3，1≤y≤3}上，f(x,y)=0，在其它点。

以下先求U的分布函数F(u).F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }。

已知：

当u<0时，F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=0；

当u>=3时，F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=1；

而当0<=u <3时，F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=f(x,y)在G与区域{(x,y):|x-y|<u}的交集上的二重积分。

由于是均匀分布，故只用到计算面积.f(u)=p{u<=u}=p{|ξ -="" η|=3时，F(u)=1；

当0<=u <3时，F(u)=(1/9)*{9-(3-u)^2}=1-(1/9)(3-u)^2.求导数，得

密度f(x,y)：当0<=u<3时，f(x,y)=(2/9)*(3-u)其它(u<0 ,or u>=3)f(x,y)= 0。

扩展资料：

概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。