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解：(3)题，∵设an=[n/(n+1)]^(n^2)，∴lim(n→∞)(an)^(1/n)=lim(n→∞)[n/(n+1)]^n=1/e<1，∴根据柯西判别法/根值审敛法可知，级数∑[n/(n+1)]^(n^2)收敛。
(5)题，设t=√x，则原式=∑[2√x-arctan(√x)]丨(x=0,1/n)=2∑1/n^(1/2)-2∑arctan[1/n^(1/2)]。其中，含有p=1/2<1的p-级数。显然，发散。
(9)题，转化成积分形式判断。设I=∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p](p>0)， 则级数∑1/[n(lnn)^p]与积分I有相同的敛散性。而，对I，当p=1时，I=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，发散、当p≠1时，I=[1/(1-p)](lnx)^(1-p)丨(x=2,∞)；显然，0<p<1时，(lnx)^(1-p)→∞，发散、p>1时，(lnx)^(1-p)→0，收敛。∴0<p≤1时，级数∑1/[n(lnn)^p]发散；p>1时，级数∑1/[n(lnn)^p]收敛。
供参考。
(5)题，设t=√x，则原式=∑[2√x-arctan(√x)]丨(x=0,1/n)=2∑1/n^(1/2)-2∑arctan[1/n^(1/2)]。其中，含有p=1/2<1的p-级数。显然，发散。
(9)题，转化成积分形式判断。设I=∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p](p>0)， 则级数∑1/[n(lnn)^p]与积分I有相同的敛散性。而，对I，当p=1时，I=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，发散、当p≠1时，I=[1/(1-p)](lnx)^(1-p)丨(x=2,∞)；显然，0<p<1时，(lnx)^(1-p)→∞，发散、p>1时，(lnx)^(1-p)→0，收敛。∴0<p≤1时，级数∑1/[n(lnn)^p]发散；p>1时，级数∑1/[n(lnn)^p]收敛。
供参考。
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