Question

(2011•河南)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5 3 ,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位

初二数学：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5√3 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

1
因为DF⊥BC ，∠C=30°
所以DF=DC/2
因为D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动
所以AE=DC/2
所以AE=DF

2
因为DF⊥BC，∠B=90°
所以AE//DF
因为AE=DF
所以四边形AEFD是平行四边形
要使四边形AEFD是菱形，只要满足AE=AD
因为Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5√3 ，∠C=30°
所以AC=10
AE=t，AD=10-2t
即 t=10-2t
t=10/3
所以t=10/3秒时，四边形AEFD是菱形

3
当ED//BC时，△DEF为直角三角形
因为∠C=30°
所以AE/AD=1/2
即： t/（10-2t）=1/2
t=5-t
t=5/2
当ED⊥EF时，△DEF也为直角三角形
因为四边形AEFD是平行四边形
所以EF//AD
因为ED⊥EF
所以ED⊥AD
因为∠A=60°
所以AD/AE=1/2
即：(10-2t)/t=1/2
20-4t=t
t=4